反正切函数 (arctan)

计算反正切值

arctan(x) 的值:

45°

当 x = 1 时,反正切值为 45 度,即 π/4 弧度

角度

上图显示了 arctan(1) = 45° 的角度

反正切函数速览

反正切函数(arctan 或 tan-1)是正切函数的反函数,返回一个角度,使其正切值等于给定的 x。

如果 \(y = \tan(\theta)\),则 \(\theta = \arctan(y)\)。

① 定义与含义

输入任意实数 x,返回角度 \(\theta\) 满足 \(\tan(\theta) = x\)。

常用于“正切值已知,求角度”的情形,例如仰角/俯角推导。

② 值域范围

反正切只能输出第一、四象限角度:

\(-\frac{\pi}{2} < \arctan(x) < \frac{\pi}{2}\)

或 \(-90° < \arctan(x) < 90°\)

因此任何输入都会被“折叠”到这个范围。

③ 核心性质

  • 定义域:所有实数 \(\mathbb{R}\)
  • 奇函数:\(\arctan(-x) = -\arctan(x)\)
  • \(x \to \infty\) 时趋近 \(90^\circ\),\(x \to -\infty\) 时趋近 \(-90^\circ\)

④ 向量方向角

二维向量 \(\vec{v} = (x, y)\) 的方向角可用反正切求得:

\(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\)

编程场景推荐使用 `atan2(y, x)`,以正确区分象限并处理 \(x = 0\)。