欧几里得距离 (L2)
测量两点之间的直线距离，就像用尺子测量两点间的距离一样。
距离越小，表示越相似。
\[ L2(\vec{X},\vec{Y}) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2} \]
示例：
向量A = [1, 2, 3]
向量B = [4, 5, 6]
L2距离 = \(\sqrt{(1-4)^2 + (2-5)^2 + (3-6)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} \approx 5.2\)
适用场景：
• 图像检索
• 人脸识别
• 当向量的大小（模长）有意义时
内积 (IP, Inner Product)
测量两个向量的方向相似度和大小的乘积。
值越大，表示越相似。
\[ IP(\vec{X},\vec{Y}) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot y_i \]
示例：
向量A = [1, 2, 3]
向量B = [4, 5, 6]
内积 = \(1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 = 4 + 10 + 18 = 32\)
适用场景：
• 推荐系统
• 当向量已经归一化时
• 当需要考虑向量大小和方向时
余弦相似度 (Cosine)
测量两个向量之间的夹角，忽略向量的大小，只关注方向。
值越接近1，表示越相似。
\[ \text{Cosine}(\vec{X},\vec{Y}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i \cdot y_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}
\cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_i^2}} = \frac{\vec{X} \cdot \vec{Y}}{||\vec{X}|| \cdot ||\vec{Y}||} \]
示例：
向量A = [1, 2, 3]
向量B = [4, 5, 6]
\(||\vec{A}|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14} \approx 3.74\)
\(||\vec{B}|| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{77} \approx 8.77\)
余弦相似度 = \(\frac{1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6}{3.74 \times 8.77} = \frac{32}{32.8} \approx
0.975\)
适用场景：
• 文本相似度比较
• 当只关心方向而不关心大小时
• 自然语言处理
汉明距离 (Hamming)
计算两个等长字符串或二进制串对应位置不同的数量。
距离越小，表示越相似。
\[ \text{Hamming}(\vec{X},\vec{Y}) = \sum_{i=1}^{n} [x_i \neq y_i] \]
示例：
向量A = [1, 0, 1, 0, 1]
向量B = [1, 1, 0, 0, 0]
汉明距离 = 3（第2、3、5位不同）
适用场景：
• 错误检测和纠正
• 生物信息学
• 二进制特征比较
• 图像哈希比较