三维向量

三维向量在三维空间中表示为 (x, y, z)。

向量 A

向量 B

向量运算

结果将显示在这里

三维向量用有序三元组 (x, y, z) 表示,记录向量在 X、Y、Z 三个方向上的投影。

它既能描述空间中的位移,也能表示力、速度、法线等方向信息,因此理解分量、模长、加减法是后续学习点乘、叉乘的基础。

① 表示方式

\(\vec{v} = (x, y, z)\)

  • X:沿水平轴的分量
  • Y:沿竖直轴的分量
  • Z:沿垂直屏幕的分量

② 模长(大小)

模长衡量向量在空间中的“长度”:

\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \]

示例:\(\vec{v} = (1, 2, 2)\),则 \(\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\)。

③ 向量加法

端点连接“首尾相接”,即对应分量相加:

\[ \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z) \]

点击 A + B 将看到绿色结果箭头,模拟平行四边形法则。

示例:\(\vec{A} = (1, 0, 0)\)、\(\vec{B} = (0, 1, 0)\),则 \(\vec{A} + \vec{B} = (1, 1, 0)\)。

④ 向量减法

表示“从 A 指向 B”,或 A 与 B 的分量差:

\[ \vec{A} - \vec{B} = (A_x - B_x, A_y - B_y, A_z - B_z) \]

相当于先取 \(-\vec{B}\),再做加法,动画中同样以绿色箭头展示。

示例:\(\vec{A} = (2, 3, 1)\)、\(\vec{B} = (1, 1, 0)\),则 \(\vec{A} - \vec{B} = (1, 2, 1)\)。