什么是正切函数？
正切函数是三角函数的一种，它描述了直角三角形中一个角的对边与邻边的比值。
\(\tan(\theta) = \frac{对边}{邻边} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\)
其中：
- 对边：与角 θ 相对的边
- 邻边：与角 θ 相邻的边（不是斜边）
- θ：角度（可以用度数或弧度表示）
直角三角形中的正切
拖动下面的点来改变角度，观察正切值的变化：
角度 θ：45°
正切值 tan(θ)：1
对边长度：1
邻边长度：1
正切计算器
tan(θ) 的值：
1
当 θ = 45° 时，正切值为 1
正切函数图像
正切函数的特殊值
| 角度 (θ) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| 弧度 | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
| tan(θ) | 0 | 1/√3 ≈ 0.577 | 1 | √3 ≈ 1.732 | 无定义 |
正切函数的性质
- 周期性：正切函数的周期是 π（或 180°）
- 奇函数：tan(-θ) = -tan(θ)
- 无定义点：当 θ = 90°, 270°, ... 时，正切函数无定义（因为除数为零）
- 图像特点：正切函数的图像有无数条垂直渐近线
正切函数的应用
例题1：计算高度
小明站在地面上，抬头看到树顶的仰角是 30°。如果小明距离树 10 米，树有多高？
树高 = 距离 × tan(30°) = 10 × (1/√3) ≈ 10 × 0.577 ≈ 5.77 米
例题2：计算距离
从 20 米高的楼顶向下看，看到地面上一个物体的俯角是 45°。这个物体距离楼有多远？
距离 = 高度 ÷ tan(45°) = 20 ÷ 1 = 20 米
正切与其他三角函数的关系
\(\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\)
这意味着正切值等于正弦值除以余弦值。
注意：当余弦值为零时（即 θ = 90°, 270°, ...），正切函数无定义，因为除数不能为零。