二维向量是一个有大小和方向的量，可以用有序对 (x, y) 表示。在二维平面上：
向量可以从原点 (0, 0) 指向点 (x, y)，也可以从任意点 A 指向另一点 B。
向量的长度（大小）可以通过勾股定理计算：
\(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
示例：向量 \(\vec{v} = (3, 4)\) 的长度为 \(|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)。这是一个长度为5的向量。
向量的方向可以用与 x 轴的夹角表示：
\(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\)
示例：向量 \(\vec{v} = (1, 1)\) 的方向角为 \(\theta = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \arctan(1) = 45°\)。这个向量与x轴正方向成45度角。
对于从点 \(A(x_1, y_1)\) 到点 \(B(x_2, y_2)\) 的向量：
\(\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\)
其长度为：\(|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)
示例：从点 \(A(2, 1)\) 到点 \(B(5, 5)\) 的向量为 \(\vec{AB} = (5-2, 5-1) = (3, 4)\)。
该向量的长度为 \(|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)。
向量的实际应用：
1. 位移：如果一个物体从位置 \((2, 3)\) 移动到 \((5, 7)\)，则位移向量为 \((3, 4)\)，移动距离为5个单位。
2. 速度：如果一个物体以每秒3个单位向东、每秒4个单位向北的速度移动，则其速度向量为 \((3, 4)\)，速率为5个单位/秒。
3. 力：如果一个物体同时受到向右3牛顿和向上4牛顿的力，则合力为 \((3, 4)\)，合力大小为5牛顿。